заработок на кликах
Вы еще не зарегестрированы на Uchit.net? Зачем?
Login: Pass:

Атомические разложения функций в пространстве Харди

реферат: Математика

Оцените работу
всего оценок0 общий балл0
Зарегистрируйтесь

Міністерство  Освіти  України


Одеський державний університет


ім. І.І.Мечнікова


Інститут математики, економіки та механіки





Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді





Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.


Науковий керівник

Вартанян Г.М.








Одеса ­- 2000





Содержание


Введение....................................................................................   3


Глава I.  Основные сведения об интеграле Пуассона и

               пространствах , и .................................  8

§I.1.        Интеграл Пуассона.....................................................  8

§I.2.        Пространства  .......................................................  12

§I.3.        Пространства и .........................................  17

§I.4.        Произведение  Бляшке,  нетангенциальная 

               максимальная функция............................................... 22


Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

                , пространство ВМО........................................ 26

§II.1.       Пространство  , критерий принадлежности

                функции из    пространству  ....................... 26

§II.2.       Линейные ограниченные функционалы на ,

                двойственность и ВМО.................................. 32


Литература.................................................................................. 37      



















Введение.


Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных  в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , ,   и  , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов. 

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .

В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:

- пространство периодических, непрерывных на функций;

- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;

- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;

- пространство периодических ограниченных на функций;

- носитель функции .



В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-π,π]  2π-периодической комплекснозначной функции называется функция

ƒr ( x ) = ,

где     ,   t [ -π, π ] - ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в  ряде доказательств:

а) ;

б) ;                                                                  

в) для любого δ>0

     

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -π, π ) , 1 p < , имеет место равенство

                                            ;

если же ƒ (x) непрерывна на  [ -π, π ]  и  ƒ (-π) = ƒ (π) , то

                                          .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

                                            для  п.в.  .

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности.  Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:

.

Определение3. Две гармонические функции и  , связанные условиями Коши-Римана :   ,     ,  называются гармонически сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства понимается

, .

Определение5.  Под нормой пространства  понимается

, .

Определение6. Пусть ( или ,). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции  определяется равенством

.

().

Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если          для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге  функций F (z) ,  для  которых конечна норма

.

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию () можно предсавить в виде

,        , ,

где   для п.в. , при этом

      ;

         .

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:

Определение8.  Говорят, что действительная функция  , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .

Определение9. Действительная  функция  , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на   [a,b], если для любого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов , с суммой  длин, меньшей , выполняется неравенство .

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и  . Пространство () представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из, т.е. представимы в виде (). Здесь мы получаем следующие результаты: при   пространство совпадает с , а при  р=1  уже, чем , и состоит  из функций , для которых  и  .

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции ,  аналитической в круге с нулями , () с учетом их кратности:

,

где - кратность нуля функции при .

Здесь доказывается, что каждая функция  представима в виде

, где не имеет нулей в круге и - произведение Бляшке функции .

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

Тут же мы доказываем теорему об оценке : если (),  , то и   .  

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.  

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству   .  Здесь вводится понятие атома: действительная функция называется атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ;   б) ;     в) .

Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из   , либо множество вида ().

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде

,  где , , - атомы.    (*)

При этом    ,   где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а   с и С   - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

,                             (91)

где ,  а  sup  берется по всем обобщенным интервалам . А затем доказываем теорему о том, что .




                    












                






















Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и

§I.1.Интеграл Пуассона.


Пусть ƒ(x) , g(x) , xR1 суммируемые на [-π, π] , 2π- периодические, комплекснозначные функции. Через   f*g(x)  будем обозначать свертку

                  f*g(x)  =dt  

Из теоремы  Фубини  следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-π,π] и

                    cn ( f*g ) = cn ( f ) c-n ( g ) ,                  n = 0, ±1 , ±2 , ...            ( 1 )


где { cn ( f )} - коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :

                             cn (f)= -i n tdt ,                          n = 0, ±1, ±2,…       

Пусть  ƒ L1 (-π, π ) . Рассмотрим при  0 r < 1  функцию

                   ƒr ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x   ,            x ∈ [ -π, π ]  .                  ( 2 )

Так как   для  любых  x ∈ [ -π, π ], n = 0, ±1, ±2,…, а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного   r ,  0 r < 1 . Коэффициенты   Фурье функции    ƒr (х)    равны cn ( fr ) = cn (f) r| | ,    n = 0 , ±1, ±2, … , а это  значит, что ƒr ( x ) можно представить в виде свертки :

                          ƒr ( x ) = ,                                                       ( 3 )

где

                          ,                                   t [ -π, π ] .                  ( 4 )

          Функция двух переменных  Рr (t) ,   0 r <1 ,  t ∈ [ -π, π ] , называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  -  интегралом Пуассона .

Следовательно,

                     Pr ( t ) =      ,    0r < 1 ,   t ∈ [ -π, π] .                     ( 5 )  

Если  ƒ∈ L1 ( -π, π- действительная функция , то , учитывая , что

c-n  ( f ) = , n = 0, ±1, ±2,…, из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

=  ,                                                                      ( 6 )

где

                          F ( z ) = c0 ( f ) + 2             ( z = reix  )                     ( 7 )

  • аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х  ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ƒ∈ L1( -π, π ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

                  u ( z ) = ƒr (eix )  , z = reix    ,  0 r <1  ,   x [ -π, π ] .

При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v (0) = 0  задается формулой

                  v (z) = Im F (z) =    .                                     ( 8 )

Утверждение1.

Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге   | z | < 1+ε ( ε>0 ) функция  и ƒ (x) = u (eix) , x∈[ -π, π ] . Тогда

                  u (z) =                 ( z = reix  ,    | z | < 1 )               ( 10 )

Так как  ядро Пуассона  Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

                                             =,          | z | < 1+ ε .

Но тогда коэффициенты Фурье функции связаны с коэффициентами Фурье функции  следующим образом :

                                      

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).


Прежде чем перейти к изучению  поведения функции ƒr (x) при r→1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;                                                                   (11)

в) для любого δ>0

     

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  ƒ (х) 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -π, π ) , 1 p < , имеет место равенство

                                            ;

если же ƒ (x) непрерывна на  [ -π, π ]  и  ƒ (-π) = ƒ (π) , то

                                          .

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

                     .                                  ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

                            .

Для данного ε > 0  найдем  δ = δ (ε) такое, что  . Тогда для  r  , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим  оценку

.

Аналогично,  второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

                            .

Теорема 1 доказана.


Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.


ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a<b,   . Максимальной функцией для функции   называется функция

                          ,

где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

  ,  .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

                                            для  п.в.  .

Доказательство.

Покажем, что  для  и 

                                                       ,                                          ( 13 )

где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для  f (x)*1

). Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку

             

(К - абсолютная константа).

Пусть  -  такое число, что

.

Тогда  для 

.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора  . Используя его, найдем такую последовательность функций ,что

,

                                                  ( 14 )

   для п.в. .


Согласно (13) при   x (-π,π)

Учитывая , что по теореме 1  для каждого x [-π, π]  и (14)

из последней оценки  получим

  при  r1.

Теорема 2 доказана.

Замечание1.

Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x [-π, π]   ,  когда точка reit  стремится к  eix  по некасательному к окружности    пути.


§I.2.Пространства Hp.

Определение I.3.

Пространство - совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) ,  для  которых конечна норма

                                               .                               (15)

Пусть комплекснозначная функция  удовлетворяет условиям

                                                                            (16)

тогда функция  F (z) , определенная равенством

                                            (17)

принадлежит пространству ,  причем

                                                      .                                             (18)     

 

Действительно,  аналитичность функции  F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того,  в силу неравенства       мы имеем

                       (*)

С другой  стороны ,  по теореме 1  ( а  при  р=  в силу теоремы 2)

  .   Отсюда            (**)    

Учитывая  (*)  и  (**) ,  получим  (18).


Ниже мы докажем,  что любую функцию      можно  представить в виде  (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция  φ (t)  имеет ограниченную вариацию на       [ -π,π]  и 

                              (19)

Тогда   φ (t)  абсолютно непрерывна  на  [-π,π].

Замечание2.

В (19) и ниже  рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса,  построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации φ (t) . Мы говорим, что

φ (t)= u (t)+ i v (t)  имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t)  и   v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-π,π] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества  .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества  ,

,

                                                   (20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а   V - открытое множества , причем      и

. Тогда для всякого ,  существует функция  вида

      ,                                         (21)  

обладающая свойствами:

а)     ;

б)            ;                                                          (22)

в)               .


Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть   ,  где      - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F,  и для 

.

Очевидно, что - открытое множество и .

Рассмотрим для данных    функцию  ,  построенную в лемме 1 для числа ε  и  множества . Тогда  нетрудно проверить[3], что если    ,  а  , то разность

.                               (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

,     

и мы получаем равенство (20).


Перейдем к доказательству  леммы 1. Нам понадобится

ОпределениеI.4.

Средние Фейера - это средние вида

  , где - ядро Дирихле,

, - ядро Фейера.

Отметим, что при ядро Фейера обладает следующими свойствами:         а) , ;             б) ,

Мз которых вытекает, что для   и 

Также известно [3], что средние Фейера равномерно сходятся к .


Пусть  f(t) - непрерывная на  [-π, π]  функция, для которой

и 

Так как средние Фейера  равномерно сходятся  к   и

  ,  то существует тригонометрический полином

                                               (24)

такой, что

           (25)

Пусть .  Рассмотрим для каждого δ>0  такую функцию , что

,  

(функцию  можно построить следующим образом:  взять замкнутое множество    с мерой  ,  достаточно близкой  к  2π,  и положить

   ).

Так как        (здесь число m  то же,  что в (24)), то  для  достаточно малых  δ>0  функция      удовлетворяет соотношениям

                  (26)

При этом  ,  если  .   Тогда  средние Фейера  функции  h(t)  имеют вид

и при достаточно большом  N

               (27)

Положим

  ,                                            (28)

Так как h(t) - действительная функция, то ,  n=0,±1,±2,…. Поэтому

   и   .                       (29)

Определим искомую функцию g(t) :

Ясно, что   , а из (24) и (28) следует, что  при n<0,  т.е.

                                                   (30)

В силу  соотношений (25), (27) и (29)  для 

,

а для 

.

Наконец, для любого 

.

Таким образом, функция g(t)  обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны.


Теорема 4.

Пусть функция . Тогда для п.в. существует предел

                                                  (31)

При этом

1)       ,        , ;

2)            ;

3)               .

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции найдется функция такая, что имеет место 1).  Действительно, если , то тем более  и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. . При этом   и  по теореме 1 

. Наконец, из 1) следует, что

а тогда

.

Пусть . Для построения  искомой функции  положим

,      ,     .

Функции ,  имеют равномерно ограниченную по r вариацию на :

.

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации и последовательность , такие, что в каждой точке  и

                (32)

для любой функции . При этом  для  n=1,2,...

(мы учли аналитичность  функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 абсолютно непрерывна : существует функция  , для которой

,      

Тогда

    ,                 (33)

Зафиксируем число  .  Функция  , аналитична в круге ,  поэтому согласно  утверждению 1

,        .

В пределе  при   из  последнего равенства вытекает, что

,   , .

Равенство 1) ,  а вместе с ним  и теорема 4 доказаны.





§I.3.Пространства    и 


Обозначим через класс тех функций , , которые являются граничными значениями функций из , т.е. представимы в виде

  для п.в. ,   .

В силу пунктов 3)  и  2)  теоремы 4    и каждая функция  удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной   с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из . Следовательно,

.                    (34)

Из (34) вытекает, что (замкнутое) -  подпространство пространства  , а  - банахово пространство  с нормой (15).

Пусть . Положим

,

,                               (35)


ОпределениеI.5.

Если функция  , то сопряженной к ней функцией называется функция       ,   ,

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при интегралов                           .

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции сопряженная функция существует и конечна п.в. на ; при этом

а) ,  y>0;

б) если , , то  и .

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны :

а)    ;

б)     ,   ,   ;

в)      ;

г)      ,  где  - такая действительная функция, что ее сопряженная также принадлежит пространству :

.         (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34),  а эквивалентность условий а) и в) - из  теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место равенства

,                            (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

,   ,     ,    

. Следовательно, равенства (37) выполняются, если - произвольный тригонометрический полином.

Пусть фиксировано. Для произвольной функции и положим

,        ,

где   ,   ,   .

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций (наличие этих свойств мы установим  ниже):

1)   ,         ,     ;

2)   при функции  , , сходятся по мере к     

      ;

3)  ,    ,    ,

     где  С - абсолютная константа.


Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3).

Легко видеть, что  ,  где  ,  поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций ,:

по мере .                                (38)

Для произвольного найдем тригонометрический полином такой, что

,      .                        (39)

Тогда согласно 3)

                       (40)

и при

.                           (41)

Так как  - полином, то  и

.         (42)

Учитывая, что , и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим  , ,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).


Докажем теперь, что для произвольной функции справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как .

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное и представим функцию в виде

,   .                 (43)

Из непрерывности функции легко следует, что

равномерно по  . Поэтому при достаточно больших с учетом (43) мы будем иметь

,      (44)

Кроме того,  в силу 1) и (43)

;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при  

.

Для доказательства оценки 3) заметим, что

,

где . Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции и учитывая, что , получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть     (,,)  и

. Тогда  по теореме 4  , и надо доказать только, что для п.в. .

Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать,  что при и

.

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого

                                                      .                               (45)

Согласно теореме 1

.                   (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости () следует сходимость по мере функций к . Таким образом,

по мере  (),

а потому , учитывая (46), для п.в. .

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если ,  то  ;

б) если и  , то  ;

в) если , ,   ,  то

.                               (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим

,

.

Согласно теореме 5 , а следовательно, . Но тогда (для п.в. ) , и из определения класса мы получим, что

.                                                    (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если , то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство совпадает с . Для  р=1 это не так. Пространство уже, чем , и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций , для которых  и  .

- банахово пространство с нормой

.                                (49)

Полнота с нормой (49) следует из утверждения 2  и полноты пространства : если   при , то  , ,  и так как по мере  при , то и при .

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда , , , .

Отметим также, что, взяв в (47) вместо   функцию и учитывая б), мы получим

,   если .                    (50)


§I.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - удовлетворяет условию

.                             (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

.                              (52)                             

Для фиксированного ,  при  имеет место оценка

.                            (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге , т.е. функция аналитична в единичном круге и имеет нули в точках , и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством ( , ), мы находим

,   .                                               (54)

Допустим теперь, что () - нули некоторой функции с  , причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

,  

Функция () аналитична в круге  радиуса больше единицы, и , если  .  Следовательно, и согласно п.3 теоремы 4 . Но тогда

и

,                                          (55)

Так как  , , то из (55) вытекает сходимость произведения , а значит, и сходимость ряда (51).

ОпределениеI.6.

Пусть  - аналитическая в круге функция и , () -  ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также - кратность нуля функции при . Произведение

                                              (56)

называется произведением Бляшке функции .

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция  представима в виде

,

где не имеет нулей в круге и

,

а - произведение Бляшке функции .

Доказательство.

Пусть , () - нули функции ( или, что то же самое, нули функции ) Тогда, как отмечалось выше, - аналитическая в круге функция и

,   .                                               (57)

При этом функция также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

,   ,   .

Так как для любого , то по теореме 4

и

, если .

Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что () равномерно по , мы получим

,

т.е. .

Теорема 6 доказана.

ОпределениеI.7.

Пусть , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим

, ,

где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .

В силу теоремы 2

для п.в. .                            (58)

Установим, что для произвольной функции   величина не превосходит (по порядку) значения максимальной функции *2

) в точке х, т.е.

,   .                           (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция , то для любого

;

б) если функция , то ,

где - постоянная, зависящая  только от числа р.


Пусть и . По определению интеграла Пуассона

Положим . Тогда будем иметь

и, в силу неравенства , , и периодичности ,

.                     (60)

Так как обе функции   и   положительны при     и отрицательны при  ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что , мы получим

.                    (61)

Для  имеют место оценки

,

.

Следовательно,  для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

при  ,                     (62)

если . Пусть , тогда

.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции ,

,                        (63)

где - постоянная, зависящая только от .

Теорема 7.

Пусть (),  и

, .

Тогда и

.                                  (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда , есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь . По теореме 6 , где , если   и  . Из функции можно извлечь корень: существует функция такая, что , и, следовательно из (64) при р=2, получим

.

Оценка снизу для вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.












Глава II. Атомические разложения функции

в пространстве , пространство ВМО.

§II.1.Пространство , критерий принадлежности функции из

пространству .


Рассмотрим () - пространство функций , являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства :

  для п.в. ,   .               (65)

Ранее мы доказали, что

,   ,               (66)

и что - банахово пространство с нормой

;                                (67)

при этом, если в (65) , то

    () .                (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при пространство совпадает с пространством и из утверждения 2 следует, что

    ().

Последнее соотношение теряет силу при - нетрудно проверить, что при

,

где

и, следовательно, существует функция , для которой . Таким образом, - собственное подпространство в . Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству  .

ОпределениеII. 8.

Множество мы будем называть обобщенным интервалом, если   - дуга на единичной окружности, т.е. - либо интервал из  , либо множество вида

  ().                             (69)

Точку назовем центром обобщенного интервала , если - центр дуги . Длиной обобщенного интервала естественно назвать величину

Определение II.9.

Действительную функцию назовем атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ;

б) ;

в) .

Атомом назовем также функцию , .

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: , необходимо и достаточно, чтобы функция допускала представление в виде*3

)

,                              (70)

где , , - атомы. При этом

,                           (71)

где inf берется по всем разложениям вида (70) функции , а   с и С   - абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть для функции нашлось разложение вида (70). Покажем, что и  . Для этого достаточно проверить, что для любого атома имеет место неравенство

.                                                 (72)

Пусть - такой обобщенный интервал, что

,                      (73)

(случай   тривиален). Так как , то нам остается доказать, что

.                                            (74)

Для любого измеримого множества , применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2  и соотношениями (73), мы находим

,  (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда  .

Допустим теперь, что , и обозначим через обобщенный интервал длины с тем же центром, что и . Из (75) следует, что

.

Нам остается оценить интеграл . Мы воспользуемся очевидным неравенством

,   ,

где - длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки и ,  а  - абсолютная постоянная. В силу (73) при мы имеем

где - центр обобщенного интервала . Из последнего соотношения, учитывая, что  и  ,  мы находим

, , где .

Следовательно,

.

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции разложение (70), для которого

.

Пусть функция  с  такова, что выполнено соотношение (65), и пусть () - нетангенциальная максимальная функция для , т.е.

, ,                                (75')

где - область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки  к окружности , и наибольшей дугой окружности , заключенной между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что , поэтому нам достаточно найти такое разложение функции  на атомы (70), что 

,                                       (76)

где постоянные С  и  () не зависят от . Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число : пусть, например, . Не ограничивая общности, мы можем считать, что

.                                            (77)

Рассмотрим на отрезке множества

           (78)

Так как при любом множество точек единичной окружности открыто, то ясно, что при множество (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

при .    (79)

Положим                и  при 

               (80)

Так как  конечна для п.в. , то из определения функций , , следует, что для п.в.         при  , а значит,  для п.в.

.

Отсюда, учитывая, что , а следовательно из (80), при , мы находим, что

,                           (81)

где - характеристическая функция множества .  Из (81), учитывая, что , мы для функции получаем следующее разложение:

     для п.в. ,              (82)

где

,              (83)

С помощью функций мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при 

  , .                       (84)

Докажем теперь, что для п.в.

, ,                             (85)

где постоянная зависит только от числа , зафиксированного нами ранее.

Так как из (65) и (75') для п.в. , то из  (77) следует, что

.

Пусть теперь - один из обобщенных интервалов  в представлении (79), тогда из (77) и (78)  , и если - концевые точки дуги () , то , а значит,

.                                           (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

  при  .                         (87)

Легко видеть (учитывая,  что   и  ) , что множества    и  пересекаются в одной точке:

с   .                                      (88)

Пусть , - отрезок, соединяющий точки   и  . Так как  , , то из непрерывности функции при и неравенства (87) вытекает, что , если , , и  . Поэтому , учитывая (88)

, ,,   .                         (89)


Рассмотрим область , ограниченную

отрезками и  и дугой  ;

пусть, далее, для

,

.



По теореме Коши [5]             .

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги справедливо равенство ,

мы получим

.

Но в силу теорем 4 и 5

,

и так как , то мы находим, что

.                                    (89')

Легко видеть, что отношение    ограничено сверху числом, зависящим только от σ, поэтому

, .                             (90)

Так как  , то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для , , справедливо неравенство (85). Для п.в. неравенство (85) сразу следует из определения функций и множеств .

Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что , а это значит, что функции

  , , ,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции на атомы:

  для  п.в. ,

где                 .

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

.

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.





§II.2. Линейные ограниченные функционалы на , двойственность и  ВМО.

Дадим описание пространства , сопряженного к банахову пространству . Нам потребуется

Определение II.10.

Пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

,                             (91)

где ,  а  sup  берется по всем обобщенным интервалам .

Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой

.                                (92)

Ясно, что . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция  .

Теорема 9.

, т.е.

а) если , и для произвольной функции рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8):

, , - атомы*4)              (93)

и положить

,                          (94)

то сумма ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на  ;

б) произвольный ограниченный линейный функционал на представим в виде (94), где  . При этом

(С, С1 - абсолютные постоянные).


Лемма 2.

Пусть функция  такова, что для любого обобщенного интервала найдется постоянная , для которой

,

где М не зависит от . Тогда  и .

Доказательство.

Для любого обобщенного интервала мы имеем

,

откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2.

Следствие 2.

Если , то и

.                                              (95)

Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что

для произвольного обобщенного интервала .

Доказательство теоремы 9.

а) Пусть . Положим

Так как всегда  , то, учитывая равенства

,

мы с помощью следствия 2 находим

                               (96)

Допустим, что  ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение

,                   (97)

где функции являются атомами и , и при

, .                     (98)

Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при 

.

Отсюда, учитывая, что функции , по модулю не превосходят суммируемой функции  и для п.в. , мы получим, что

.

Таким образом, равенством

, ,                            (99)

определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в линейном многообразии (плотность функций из  в  вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции частные суммы разложения (70) сходятся к  по норме , и, очевидно, принадлежат пространству  ).  Поэтому функционал можно единственным образом продолжить на все пространство :

.                       (100)

Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции ряд (94) сходится и его сумма равна . Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме к  :

.

б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на . Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции

(С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на , а следовательно, найдется функция с

,                                          (101)

для которой

, .                           (102)

В частности, равенство (102) выполняется, если - произвольный атом. Докажем, что

.                                            (103)

Пусть I - произвольный обобщенный интервал, - произвольная функция с  . Тогда функция

, ,

является атомом и в силу теоремы 8 . Поэтому

.

Подбирая в последнем неравенстве функцию оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала  I

,

что с учетом соотношения   доказывает оценку (103).

Таким образом, для значение функционала совпадает со значением ограниченного линейного функционала на элементе (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство плотно в , то, следовательно,

  для любой функции  .

Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9.










































Литература


  1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды М.: Наука, 1984.495с.
  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1989. 623с.
  3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа М.: Наука, 1988. 815с.
  4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды М.: Гос. издательство  физико-математической литературы, 1961. 936с.
  5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. 415с.
  6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции М.: Мир, 1984. - 469с.
  7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа М.: Наука, 1964.т.2,463с.
  8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств Одесса, 1990 111с.

































*) Мы считаем , что f (x) = 0  ,    если   |x| > π .

*) Так как функция определялась для функций , заданных на , то мы дополнительно полагаем , если ; при и при .

*) В силу условий а) и в) в определении 9 , поэтому ряд (70) сходится по норме пространства и п.в.

*) Возможен случай,  когда при  .

 
Дружить
Uchit.net в социальных сетях