заработок на кликах
Вы еще не зарегестрированы на Uchit.net? Зачем?
Login: Pass:

Аксиоматика векторного пространства

реферат: Математика

Оцените работу
всего оценок0 общий балл0
Зарегистрируйтесь

Глава 2

1. Некоторые векторные равенства


Среди векторных соотношений можно выделить несколько важных соотношений, называемых здесь основными. Эти основные соотношения являются, образно выражаясь, ключами к решению широкого класса задач.

I Основное соотношение. Во всяком треугольнике ЛВС выполняется равенство

                                       (I)

Где М центроид (точка пересечения медиан) треугольника АВС.

Докажем соотношение (I).


Пусть М центроид треугольника АВС. Соединим    точку    М    со    всеми    вершинами треугольника. Прямая МВ пересекает сторону АС треугольника АВС в точке О, являющейся серединой стороны АС. На прямой ВМ откладываем МЕ ВМ и соединяем точку Е с вершинами А и С. очевидно, что АМСЕ параллелограмм. Поэтому . Откуда . Так как , то . Ч.т.д.

Задача. Доказать, что если М центроид треугольника АВС и О -произвольная точка пространства, то выполняется равенство

                                               (1)

Доказательство:

Запишем следующие векторные равенства:

Сложив эти равенства по частям, получаем:

,

откуда

Доказанное равенство также следует отнести к основным векторным соотношениям, так как оно часто используется в решении многих задач.

II Основное соотношения. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D так, что АD : = m : n.

Тогда имеет месть следующее соотношение:

                                       (II)

Доказательство:


Из треугольника АВС имеем:

.

Ч.т.д.


Задача. Через середину Е медианы СС1 треугольника АВС проведена прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Вычислить АЕ : ЕF и СF : .

Решение.

Введем векторы и  . Пусть СF : = m : n. Тогда по формуле (II) имеем:

и                                                        (1)

где 0 < х < 1.

С другой стороны, учитывая, что Е середина медианы СС1 получаем для АЕ следующее выражение:

                                       (2)

В силу единственности разложения вектора по двум векторам из (1) и (2) получаем систему:

                                                       (3)

Разделив  по частям  первое  уравнение  системы  (3)  на  второе, получаем, что m : n = 1 : 2, т.е. СF : = 1 : 2.

Сложив по частям уравнение системы (3), находим, что , т.е. AE : EF = 3 : 4


III Основное соотношение. Если точки М и N делят отрезки АВ и CD соответственно в равных отношениях так, что AM : MB = CN : ND = m : n, то выполняется равенство.

        (III)

Доказательство:

Для доказательства равенства (III)
мы воспользуемся формулой (II). Запишем, что отрезки АВ и CD могут произвольно располагаться относительно друг друга (например, они могут лежать на скрещивающихся прямых и на прямых, принадлежащих одной плоскости).

Пусть О - произвольная точка, не принадлежащая ни отрезку АВ, ни отрезку CD. Соединим точку О с точками А, М, В, С, N и D и раcсмотрим векторы и .

Имеем:

,

,

Ч. т. д.

Задача. На прямой m даны три точки Р, Q, R, а на прямой m1 -три точки P1, Q1, R1 причем , . Доказать, что середины отрезков PP1, QQ1 и RR1 принадлежат одной прямой.


Решение.

Пусть М, N и К - середины отрезков РР1 QQ1 и RR1 соответственно.

На основании   (III) запишем следующие векторные равенства:

       (1)

                                       (2)

Из (1) и (2) следует, что векторы и коллинеарные. А так как начало одного из них является концом другого, то точки М, N и К принадлежат одной прямой.

IV Основное соотношение. Дан тетраэдр ABCD и в плоскости его грани ABC точка М. Доказать, что для разложения

Выполняется равенство

Доказательство:


Допустим, что точка М лежит внутри треугольника ABC. Проведем через точки А и М прямую, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть Е делит сторону ВС в отношении m : n, т.е.

BE : EC = m : n.

Тогда по формуле (II)

Пусть далее точка М делит отрезок АЕ в отношении p : q, т.е. AM : ME = p:q. Тогда

.

Откуда

Ч. т. д.


 
Дружить
Uchit.net в социальных сетях